Finitude philo­so­phique et finitude mathé­ma­tique

Le terme finitude est un de ces mots autours desquels semble se jouer un drame implicite, caractéristique d’une époque. Le mot, en effet, est apparu, à peu près simultanément, au centre des préoccupations d’une part importante de la philosophie et d’une part importante de la science contemporaine au cours du vingtième siècle, sans que l’on soit sûr, a priori, qu’il y ait là plus qu’un hasard, ou qu’une homonymie. Rien ne garantit en effet qu’il y ait, derrière cette rencontre lexicale, une rencontre conceptuelle ou idéelle, voire un phénomène de filiation ou de migration. Certains esprits néanmoins, comme celui du présent auteur, ne parviennent pas à croire que les mobilisations intellectuelles engagées ainsi dans la même époque à propos des mêmes termes puissent être essentiellement et sous tout rapport étrangères ou indifférentes les unes à l’égard des autres.

Dans cet article, on essaiera de se faire une opinion, en avouant d’emblée une focalisation préférentielle : ce qui nous intéressera avant tout, c’est le rôle de la notion de finitude dans les philosophies de Heidegger et de Arendt. Mais nous assumerons l’hypothèse de travail étrange selon laquelle entendre quelque chose du questionnement logico-informatico-mathé­ma­tique contemporain de la finitude peut nous aider à comprendre et évaluer ce rôle.

Je vais maintenant m’attacher à crédibiliser le point de vue qui précède par une série d’analyses plus précises.

La finitude heideggerienne

Pour saisir l’importance de la notion de finitude chez Heidegger, je partirai de sa façon de rendre compte du point de départ de la philosophie de la connais­sance kantienne. Heidegger rapporte que, pour Kant 1) toute connais­sance provient en dernière analyse de la sensibilité ; 2) il en va ainsi parce que l’homme est un Dasein fini, qui doit se faire annoncer, recevoir ce sur quoi sa connais­sance porte ou ce à partir de quoi elle se construit, qui ne peut pas être l’auteur de l’être qu’il connaît. La finitude du Dasein apparaît ici, clairement, comme synonyme de la non-divinité de l’homme. Cette première idée de la finitude l’associe à une relation essentiellement et originairement passive avec quoi que ce soit qui puisse être ou être donné. Elle ne disparaît jamais, je crois, dans l’élaboration ultérieure de la notion qui peut avoir cours “en régime heideggerien”.

Pour en savoir plus, nous devons, pourtant, en venir à une autre version de la finitude : notre choix sera de la présenter non pas à partir de Heidegger, mais à partir de quelqu’un qui, venant après lui, le suit sans nécessairement afficher cette inspiration, Michel Foucault. Ce dernier, dans Les mots et les choses, décrit une mutation d’épistèmè, qui fait basculer l’Occident de l’âge classique de la repré­sen­tation à l’âge de l’homme, ou de l’histoire. “Avant”, la repré­sen­tation préside à une mise en ordre tabulaire et logique des choses, qui les décrit dans leur organisation virtuellement infinie (en complexité), conformément à l’idée de mathesis que l’on peut trouver chez Descartes ou Leibniz. “Après” la représentation cesse d’être le miroir de l’être pour devenir l’attribut de l’homme, et, en tant que telle, une mesure de la limitation de principe de sa connais­sance possible. Ce passage, est, sommairement, celui de la méta­phy­sique classique à l’âge critico-transcendantal. Il peut aussi être lu, de façon absolument solidaire et comme Foucault le suggère, comme transition d’une vision de l’homme comme “déchu” de Dieu, comme fini en tant que créé et dévoyé, à une vision de l’homme comme fini en tant que source de validité, comme simultanément fini et fondement de tout ce qui vaut pour lui. C’est ici que nous rejoignons la source kantienne : l’homme est fini parce qu’il reçoit, mais c’est cette finitude même qui le fait “mesure de toute chose”.

Finalement, dans la section « l'analytique de la finitude » de son livre, Foucault décrit la finitude humaine comme “remplaçant” en un certain sens l'infini théologique perdu. L'infini théologique “expliquait” la finitude de notre connaissance comme caractéristique du dispositif créé de l'homme et du monde, mais accordait à la représentation une faculté non entachée d'aucune relativité essentielle de dire l'ordre de ce qui est : il la mettait en scène comme “adéquate” dirait-on en termes husserliens. Nos énoncés déployaient un tableau fidèle des choses, de leurs identités et leurs différences, c'est seulement l'empan et la pénétration de cette descrip­tion qui étaient supposés limités en raison de la trace infinitaire du créateur dans la création.

A l'époque suivante, qui est encore la nôtre en dépit du frisson que Foucault essaie par ailleurs de nous transmettre à la fin de son livre, la représentation n'est plus supposée adéquate, elle est “notre” fenêtre sur un être hétérogène, et la finitude n'a plus un sens relatif et dérivé par rapport à l'infini divin, la finitude est une sorte d'institution encadrant à la fois notre être et notre savoir (typiquement de nous-mêmes) :

1) d'un côté, elle est la finitude positive, elle correspond à ceci que l'homme ne peut s'identifier que dans la positivité de sa vie, son travail ou son langage, qu'il est de part en part repéré par le fonctionnement objectif de son corps, par l'état public de son insertion sociale et économique, et par le degré d'accomplissement de sa phrase personnelle au sein du système de la langue ;

2) de l'autre côté, elle est la finitude fondationnelle, suivant laquelle l'homme n'arrive à une connaissance de ce qui s'affiche de lui dans un quelconque des trois registres de positivité qu'à partir du versant subjectif de ceux-ci, c’est-à-dire de l'inscription originaire de sa subjectivité en ces registres de finitude ; l'homme n'arrive à sa biologie que par son corps, n'accède à ses relations socio-économiques que par son désir, n'enregistre ses productions langagières et leur sens qu'au moyen de son entendement lingui­stique, de sa faculté parlante.

La finitude est alors pour Foucault l'institution de ce doublet, comme ressort régulateur de la représentation, comme régime général d'accès de l'homme à son existence et à la représentation de cette existence. La finitude, en un sens, et comme nous le disions d’entrée de jeu, tient donc le rôle du créateur, elle règle le dispositif sujet-monde pour tout le champ anthropologique comme la création divine le faisait. On pourrait, en un sens, parler d’une sorte d’“infinité de la finitude” pour cette raison, même si ce serait alors au nom d’un concept déviant de l’infini.

En quel sens cette finitude est-elle néanmoins finie, renvoie-t-elle selon la perspective de Foucault à un fini méritant d'être regardé comme autre que l'infini ? Chez Foucault, il semble bien que ce soit au sens où les registres de finitude donnent matière à système inconscient : partie prenante de l'âge structural, Foucault conçoit que l'écart entre la finitude positive et la finitude fondement s'accomplit dans le retrait d'un système gouvernant les performances ou les représentations, système auquel nous obéissons sans l'avoir jamais appris. J'accède à ma biologie par mon corps, mais mon corps ne sait pas ses lois et ses régularités, j'accède au champ socio-économique par mon désir, mais mon désir ne sait pas la structure de l'échange, et j'accède aux données de langage au moyen de ma faculté parlante, mais elle ne sait pas le formalisme qui la tient et l'anime. La finitude de fondement s’exprime donc dans la référence qu’elle induit à une régulation absente, retirée dans l'opacité des systèmes dont les structuralistes cherchent à écrire les grammaires.

Ce qui nous intéresse est simplement la figure générale de la finitude que nous découvrons à cette occasion : une finitude double, positive et fondationnelle, tenant la place de l'infini, ayant la valeur d'une institution, et une finitude qui est finie en tant qu'elle n'est pas transparente à elle-même. Foucault comprend la finitude essentiellement comme non-transparence, et une grande partie du vingtième siècle a fait comme lui.

La question se pose si, chez Heidegger, et comme nous l’avons laissé entendre plus haut, la finitude a le même sens. J'ai fait comme si Foucault était un bon document pour comprendre Heidegger. Il y a quelques raisons de le croire : d'une part, la proximité entre les analyses du passage de Les mots et les choses que j'ai commentées et certaines vues et écrits heideggeriens, proximité que j'ai analysée un peu plus dans Herméneutique et cognition[1] ; d'autre part, le fait que Foucault ait lui-même présenté Nietzsche et Heidegger comme des auteurs commandant et influençant sa pensée à proportion de ce qu’il ne les évoque pas de manière thématique. Mais nous ne devons néanmoins pas accorder un crédit exagéré à cette fenêtre interprétative.

Chez Heidegger, on peut partir de la descrip­tion qu'il donne de la temporalisation existentiale. C'est au bout du compte dans Les problèmes fondamentaux de la phénoménologie que cette descrip­tion est la plus complète : Heidegger y explique en profondeur pourquoi et comment il entend divorcer de la conception du temps comme droite des successions, pour mettre à la place l'exposition de la dynamique des ek-stases. Et c'est dans ce livre, plutôt que dans Sein und Zeit, que nous apprenons le “schème ek-statique horizontal” qui raccorde les ek-stases au sein de cette dynamique. Or, dans l’ouvrage en question, Heidegger avoue ne pas traiter de la finitude du temps, ne pas l'exposer :

«Il n'est pas possible d'examiner ici plus en détail la finitude du temps, parce qu'elle dépend du difficile problème de la mort, qu'il n'est pas question d'analyser dans le présent contexte»[2].

Ceci nous enseigne que la pensée de la finitude n'appartient pas essentiellement à un certain niveau, une certaine strate de la conception heideggerienne, de sa méditation du temps, pour être plus précis. Comment vient-elle néanmoins ?

Elle vient, selon Heidegger, avec ce qui s'appelle chez lui l'existential de l'être-pour-la-mort. Selon l'analyse heideggerienne, rappelons-le, l'homme est porteur d'une originalité ontologique vis-à-vis de l'ensemble des “autres” étants, et qui est son existentialité (faisant de lui un Dasein, au gré de la terminologie heideggerienne) : pour l'étant que, les uns et les autres, nous sommes, il y va de son être. Le Dasein est pour ainsi dire prioritairement concerné par le “dossier” de ce qu'il est, de l'être qui lui revient : son être (sa déterminabilité comme ceci ou cela) est à sa charge plutôt que de relever d’une assignation externe et immuable. Ce “degré de liberté” ne se manifeste pas tant dans des arbitrages contingents explicites que dans une attitude fondamentale qui est celle de la projection vers des possibles. L’homme est constamment attiré par des possibles, et cette polarisation est proprement sa responsabilité existentiale : que je me connaisse un possible vers lequel je tends à me projeter est la façon dont une déterminabilité de moi se manifeste à moi comme de mon ressort.

Etant admis que l'attitude fondamentale de l'homme est cette projection vers des possibles, c'est à partir de la considération de cette “flèche” de base qui pointe vers le futur que Heidegger construit, on le sait, une descrip­tion du temps selon la temporalisation existentiale qui entend se substituer à la repré­sen­tation “ontique” du temps comme droite des présents successifs, celle qui prend le temps comme une somme de présences ponctuelles (de “nun” aristotéliciens). Le temps veut dire d'abord ce qu'animent nos flèches existentiales, et l'analyse de Heidegger ajoute à la flèche de base de la futurition celles de l'être été et du présent. Le temps est ainsi placé sous le patronage d'une dynamique existentiale trifide, dotée d'un mode de coordination selon le “schème ek-statique horizontal”, ainsi que nous le disions à l'instant. Toute cette machine temporalisante est explicitement dite “procéder” de la flèche originaire de la futurition, de l'ek-stase de l’à venir conférant au futur le sens de ce que mon existence appelle, ek-stase dont la compréhension originaire s’exprime par la descrip­tion du Dasein comme concerné par son possible.

Or Heidegger réinterroge, dans la seconde partie de Sein und Zeit, ce concernement primitif de l'existentialité, et il croit pouvoir dire que la fonction du projet, la polarisation vers le possible, est essentiellement indexée sur le “projet d'être tout”, c’est-à-dire encore sur la limite de l'exhaustion du possible, limite qui prend le sens de l'orientation vers un possible ultime qui se retourne en impossibilité absolue. L'être-pour-la-mort est une telle orientation : tous nos possibles sont pour ainsi dire prélevés sur un possible qui est celui de notre vie achevée, par lequel et en lequel le possible s'annule et se perd. Nous sommes donc être-vers-la-fin ou être-pour-la-mort, et cette structure existentiale serait indexation à une finitude radicale, qui est finitude intrinsèque du temps comme ek-statique, n’ayant donc pas le sens négatif d'une négation de l'infini théologique. Cette finitude signifierait plutôt que l'Être dans son ensemble prend, par la voie existentiale, un sens fini pour nous, en telle sorte que le fini le fond de l’être se dévoilant à nous plutôt que le nom ou le signe d'un défaut ontologique.

Retrouve-t-on, dans cet itinéraire de Heidegger, la distinction entre finitude positive et finitude fondationnelle ? Certes, la structure ek-statique du temps correspond, pour le premier Heidegger, à une forme phéno­mé­no­logique régissant l’apparaître du monde : l’existential de l’Être-au-monde. Elle a donc un sens “fondationnel”. Mais elle n’est pas vue sous l’angle de la finitude, nous l’avons dit. L’être-pour-la-mort peut sembler, en tant qu’il comporte l’indication de la mort, décrire une finitude positive, factuelle de l’homme. Mais dans l’ensemble de son évolution ultérieure, Heidegger l’utilise plutôt comme tremplin vers la finitude ultime, celle de l’Être lui-même liée à son retrait, en sorte que la finitude qui importe le plus est onto­lo­gique plus que fondationnelle. Néanmoins la vision de Heidegger présente l’homme comme de part en part tenu par une finitude intrinsèque, qui est seulement dissimulée au premier stade, celui de la structure ek-statique “pure”, et qui se dévoile comme règle de l’ek-sistence aussi bien que de l’Être au bout du compte, tableau qui reste ressemblant à celui de Foucault.

Le grand absent de toute cette élaboration philo­so­phique est l’infini : il n’intervient que dans sa version théologique une fois pour toutes dépassée. Un des buts du présent article est de “retrouver”, “après” cette grande pensée de la finitude, le sens de l’infini. Mais nous devons d’abord passer, trop brièvement nous le reconnaissons, par la prise en considération de la contribution de Hannah Arendt.

Impressions concernant la finitude arendtienne

L'auteur de cette intervention doit avouer qu'il est un faible et un piètre connaisseur des écrits et de la personnalité philo­so­phique de Hannah Arendt. Dans l'état de mauvaise information qui est le sien, néanmoins, il croit pouvoir repérer, touchant la question de la finitude, deux éléments importants.

Premièrement, Hannah Arendt campe une figure cyclique de la finitude. C'est la figure qui correspond à la strate du labeur dans le feuilletage de l'activité humaine qu'elle propose. Le premier étage de ce qu'on appelle action dans notre monde historique, et ce depuis les Grecs, est en effet occupé par le travail en tant que forme concrète et déjà technique du métabolisme de base. Les hommes sont attelés à des tâches nécessaires à la survie de l'espèce, à son alimentation et à sa protection du froid prioritairement, et ils s'épuisent toute la journée à ces tâches, dont résultent néanmoins des biens qu'ils consomment dans la jouissance. Le cycle de la peine et des plaisirs comporte aussi, bien évidemment, le moment du sommeil et du repos. Ce travail primitif, le labeur, est ce qui fut le travail des esclaves. Mais Hannah Arendt ne le dépeint pas uniquement sous le jour de la critique sociale et de la dénonciation morale. Elle semble nous enseigner que, en un sens, c'est par le labeur uniquement que l'homme se sent et se sait vivre : le circuit indéfini de la peine, de la jouissance et du sommeil est la réalité même de notre vie finie. Ce métabolisme fondamental enveloppe également, cela va de soi, les comportements liés à la reproduction de l'espèce, assurant le retour cyclique à un autre niveau : la sexualité, donc.

La figure de la finitude qui se dégage de cette descrip­tion saisissante me semble diverger dans son fond autant qu'il est possible de celle que mettaient en avant Foucault, et avant lui Heidegger. Le fini se dit ici du cycle et pas de l'auto-limitation essentielle du possible, c’est-à-dire de l'auto-limitation de la flèche. On a un fini circulaire plutôt que linéaire. Il semble que la vie humaine soit finie en tant que son procès fondamental est un reproduire, plutôt qu'une invention accédant à un répertoire infini. Et la mort personnelle intervient dans ce tableau de la finitude au sens où la loi de la reproduction veut qu'il revienne au même que mon fils vive ou que je vive, au sens où l'échange entre ma disparition et son apparition est un cas particulier du cycle du labeur.

Mais un deuxième aspect de ce que l'on trouve chez Arendt est, par ailleurs, une indexation explicite de sa vision de la vie humaine sur l'infini, ce que semblait jusqu'ici, dans nos considérations, exclure la perte de la théologie.

Je saisis deux aspects de cette indexation.

Premièrement, lorsque Hannah Arendt décrit le champ de l'action proprement dite, c’est-à-dire celui de l'interaction entre les hommes, des actes qui valent pour la façon dont ils comptent au sein d'un jeu de l'inter-humanité – champ qui est, pour elle, celui du politique au sens vrai – elle le décrit, me semble-t-il, comme traversé par l'infini, ou concerné par lui, de deux façons : 1) dans le jeu du politique, chaque sujet, placé sous le regard de tous les autres, vise un accomplissement de soi qui l'immortalise, il recherche une prestation haute qui entre dans la mémoire humaine jusqu'à la fin des temps[3] ; 2) Hannah Arendt insiste sur le fait que l'action, bouteille jetée dans la mer de l'inter-susceptibilité humaine, a des conséquences d'une profondeur infinie ; une action prend une signi­fi­cation incalculable parce que celle-ci se module et se diversifie selon les destinataires et selon les registres de réception, en telle sorte que nous devons compter avec les répercussions indirectes (l'effet sur C de la réception par B de l'acte de A, qui est encore un effet de l'acte de A, et ainsi de suite ad libitum)[4].

Et, deuxièmement, Hannah Arendt décrit aussi la finalité de la vie théorique : la vie philo­so­phique en vue de la contemplation du vrai tel qu'en lui-même. Or il est toujours clair, lorsqu'elle le fait, que c'est un homme en proie à une volonté infinie d'explication et de compréhension qu'elle met en scène. Ou encore, il est clair que l'entreprise de la connaissance obéit à l'injonction d'idées régulatrices au sens de Kant, qui orientent le système d'entendement de la science acquise vers des foci imaginarii à distance infinie.

Telle serait, à mon sens, la double spécificité de Hannah Arendt par rapport à la “philosophie de la finitude” telle que définie par Heidegger et illustrée par Foucault.

J'aborde maintenant la façon dont la finitude est pensée dans le champ logico-mathé­ma­tique.

Finitude logico-mathé­ma­tique

Il n'y a guère de doute que l'opposition du fini et de l'infini ait été au centre à la fois de la pratique et du développement des mathé­ma­tiques, et de la discussion fondationnelle à laquelle ceux-ci ont donné lieu au cours du vingtième siècle.

D'un côté, en effet, la mathé­ma­tique est devenue, avec la révolution cantorienne et la théorie des ensembles qui en est issue, une “science de l'infini”. Cette science distingue entre une diversité elle-même infinie d'infinis, de “tailles” variables, et en particulier susceptibles d’apparaître les uns à l'égard des autres comme infinis, un infini “transcendant” un autre en quelque sorte, le faisant apparaître négligeable à son aune. Elle étudie les configurations infinitaires auxquelles se prête la “matière” ensembliste, dès lors qu'on l'envisage comme capable des formes d'engendrement et de complication qu'offre la théorie des ensembles. Et elle s’attache à les “dominer” en les ramenant à un schéma fini du possible. Elle s'efforce, par exemple, et typiquement, de classifier les corps localement compacts (dont le corps familier des nombres réels est un exemple) ou de rassembler dans des catégories qualitativement pertinentes l'immense multi­pli­cité des “germes” de fonctions différentiables en le 0 d'un Rn. Une très grande quantité de recherches conduites au vingtième siècle, dans le cadre du nouveau “paradigme” formel-ensembliste, ont été de ce type, et ont conduit à des modes variés de descrip­tion en termes finis du possible infinitaire auquel on s'était ouvert.

De l'autre côté, le grand débat sur les fondements des mathé­ma­tiques ayant opposé au début du même siècle Brouwer et Hilbert portait précisément sur la légitimité de l'admission de l 'infini actuel au sein de ce qu'on a envie, peut-être à tort, d'appeler l'ontologie ensembliste. Avait-on eu raison de transgresser l'ancien point de vue aristotélicien reconnaissant seulement comme intégrables à l'horizon du mathématicien les marquages finitaires, et demandant de ne jamais traiter l'infini et ce qui relève de lui autrement que comme virtuel ? N'avait-on pas, en accomplissant une telle transgression, profondément altéré à la fois le sens de l'objet mathé­ma­tique et la règle de vérité du discours mathé­ma­tique ?

On a été amené, à cause de ce débat, à définir une option finitiste en philosophie des mathé­ma­tiques, option que, bizarrement, les deux grands adversaires du débat, Brouwer et Hilbert, revendiquent chacun à leur manière.

Je voudrais donc essayer de dégager quelques traits spécifiques de la “finitude” dont il peut s'agir dans ce nouveau contexte, en distinguant entre, d'une part, la finitude qui affecte certains objets et pas d'autres si l'on accepte le grand jeu de l'infini de la mathé­ma­tique dominante, et, d'autre part, la finitude dont on peut se faire le champion dans le cadre du débat fondationnel.

En premier lieu, donc, les théories mathé­ma­tiques contemporaines, dans la mesure où elles s'insèrent dans le cadre de la théorie des ensembles de référence ZFC, ce qui est le cas de la quasi-totalité des travaux depuis à peu près un siècle, reconnaissent certains objets comme infinis. Cela revient à dire, pour peu que l'on fasse crédit, même simplement à titre d'univers fictif cohérent, à l'objectivité mathé­ma­tique ensembliste, que ces objets sont “actuellement infinis”, au sens de ce que l'ancien point de vue aristotélicien prohibait. Ils tiennent pour notre pensée mathé­ma­tique le rôle de multiplicités closes en elles-mêmes, aussi stables et respectables dans leur identité et jugeables quant à toute propriété imaginable que les autres objets, mais incorporant une quantité illimitée de membres constituant.

J'insiste sur le fait que cette nouvelle perspective mathématicienne possède deux aspects symétriques et complémentaires qu'il faut tenir ensemble : 1) d'une part, l'infini y est admis comme forme possible de l'objet au même titre que le fini, en telle sorte que les objets infinis sont pris comme des objets analogues et de même rang, l'infini fait l'objet d'une sorte de démystification ; 2) et, d'autre part, l'infini est vraiment vis-à-vis du fini infini au sens quantitatif, il s'oppose à lui comme excédant sous le rapport quantitatif toute configuration finie, qu'il est en revanche capable d'accueillir en lui (le trait caractéristique majeur de l'infini ensembliste, à certains égards, est qu'il accueille en lui tout fini, c'est d’ailleurs ce qu'affirme littéralement le fameux axiome de l'infini de la théorie des ensembles).

En contrepartie, il apparaît que la frontière entre le fini et l'infini, telle que fixée par ce nouveau discours, est, selon les règles mêmes du discours en cause, mouvante et incertaine.

On développe en effet, dans le cadre des conceptions ensemblistes, une notion de ce que c'est pour un monde que de satisfaire à un ensemble de stipulations portées par une famille de formules d'un langage logique : c'est ce que fait la célèbre “théorie des modèles” née de la volonté d'Alfred Teitelbaum – dit Tarski – de fixer une notion rationnelle précise de la notion de vérité. On montre alors que si, comme nous sommes portés à le croire parce que nous utilisons la théorie des ensembles et vivons en elle en toute confiance, “il y a” une structure ensembliste où tout ce qu'elle dit est vrai, un monde où ses axiomes sont satisfaits, alors cette heureuse “adéquation” peut aussi être organisée en telle manière que la propriété d'être fini y est attribuée à des ensembles qui pour un premier regard de référence ne le sont pas (sont infinis). On peut concevoir un univers arithmétique se comportant à tous égards comme nous sommes habitués à l'escompter des nombres entiers naturels, mais dans lequel figurent à côté des nombres entiers usuels, des nombres entiers infiniment grands. On peut concevoir un univers des ensembles “extrait” en quelque sorte de notre univers de référence, tel que nous l'imaginons, et dans lequel des ensembles que nous considérons comme infinis endossent le rôle d'ensembles finis.

Ces possibilités soulignent le fait que, sans forcément qu'on y ait pris suffisamment garde à l'origine, l'introduction de l'infini actuel dans la mathé­ma­tique ensembliste contemporaine ne s'est accomplie qu'au prix de l'égalisation de l'essence de l'infini – et du fini corrélativement – à un rôle : le point de vue ensembliste, pour éviter les paradoxes, a dû devenir un point de vue ensembliste formaliste, et il en résulte que les objets n'ont les propriétés qu'ils ont (et n'existent, d'ailleurs, pour commencer), qu'autant que le veut et le prescrit une grammaire axiomatique. Donc, ce que nous appelons fini ou infini est ce qui se comporte de telle ou telle manière dans un monde originairement projeté conformément à un dispositif cohérent d'attributions universelles de propriétés. Il n'est donc pas surprenant, en un sens, que la “finitude” – et l'infinitude – des objets au sein de cette sorte de monde se relativise.

Est-ce à dire que la finitude de la mathé­ma­tique n'ait plus aucun poids ontologique ? Loin de là. Comme le remarquait fort justement Heidegger au tout début de Sein und Zeit, la querelle entre Brouwer et Hilbert sur les fondements des mathé­ma­tiques porte sur le statut de l'objet, c’est-à-dire précisément sur la légitimité en dernière analyse phénoménale de ce que l'on est amené à établir comme objet mathé­ma­tique acceptable. Le jeu formaliste, évoqué à l'instant, conduit à concevoir l'objet de manière relative à la stipulation formaliste, et, notamment, à n'attribuer aux mots finis et infinis qu'un contenu “grammatical” dont nous ne pouvons pas exactement contrôler la “prise” dans un supposé monde de choses. Mais ce jeu, pour être joué, présuppose la clarté et l'indiscutabilité inter-subjective de la procédure formelle elle-même. Or, l'analyse de cette procédure montre qu'elle repose essentiellement sur l'idée de classes d'objets (de type symbolique) construits selon une clause récursive : objets obtenus à partir d'objets primitifs désignés au moyen de règles de fabrication simples et univoques opérant sur lesdits objets. Les objets mathé­ma­tiques “originaires” sont donc les objets de cette sorte, qui coïncident avec les objets “constructifs” au sens de Brouwer : on peut reconnaître à la fois que les entités de base considérées dans le champ lingui­stique (au premier chef les termes, formules et démonstrations du formalisme), et les nombres entiers de l'arithmétique intuitive, pré-formelle, sont de tels objets. Ces objets de base pour toute mathé­ma­tique, en tant qu'objets méthodologiques mis en jeu par l'exercice formel au minimum, sont finis en un sens qui ne doit rien à la théorie ensembliste et à ses axiomes. Cette finitude-là renvoie à un “sol” à la fois pratique et intuitif, le mot “construction” dont il a été fait usage exprimant à la fois ces deux niveaux de signi­fi­cation. Les objets constructifs de base sont finis en tant qu'ils sont au bout de notre construire incapable d'aller à l'infini, ou en tant que nous les intuitionnons de fait selon un arbre qui résume nos gestes de construction conformément aux règles à partir des objets de base. La pensée constructive, cela dit, idéalise cette finitude, et s'autorise à envisager un fini énorme, résultat de la prolongation au-delà de nos pouvoirs concrets de la procédure de la construction. Mais même une fois que ce point a été concédé, il reste qu'elle force la pensée mathé­ma­tique à prendre en compte son rapport à une sorte de strate “absolue” du fini, qui est en même temps une strate pratique et une strate intuitive, strate qui se réalise et se manifeste à la fois dans le champ noétique, dans le champ verbal et dans le champ scriptural. Elle renvoie donc à une sorte de lieu universel minimal de la rationalité, à la fois psychologique et sociologique au sens d'une psychologie de fait et d'une sociologie de fait que nous ne pouvons pas contester de manière sensée, qui est constamment supposée attestée et communément attestée : un lieu transcendantal, tout simplement.

L'infini et le fini dont il est fait état dans la théorie des ensembles, ainsi, doivent être philosophiquement confrontés à ce fini fondamental, à ce fini constructif qui norme à la fois l'objet et le discours au niveau du “sol” de l'activité logico-mathé­ma­tique. Le formalisme ensembliste, typiquement à travers ce qui est connu sous le nom d'axiome de l'infini, tente de définir axiomatiquement une multi­pli­cité infinie comme une multi­pli­cité qui tolère en elle l'inscription d'une série indéfinie d'objets selon une procédure récursive, c’est-à-dire qui englobe en son sein l'horizon indéfini de la construction d'objets finitaires au sens “transcendantal” (nous le suggérions déjà plus haut). La tendance du formalisme ensembliste est donc de définir son infini de multi­pli­cité comme la récapitulation transcendante de tout l'horizon finitaire de la construction. Seulement cette procédure formelle n'est pas radicalement possible ou n'est pas parfaite. Elle donne nécessairement aux mots fini et infini un sens qui excède leur contenu philo­so­phique espéré. Le fini tel que légiféré dans la théorie formelle ne peut pas coïncider avec le fini méthodologique fondamental : la théorie formelle, si elle veut rester dans le cadre méthodologique du fini fondamental, ne peut pas l'exprimer exactement, il y faudrait pour cela un énoncé de longueur infini, elle ne peut le saisir que comme elle saisit l'infini, dans une formule qualitative ramassée qui tolère des versions inattendues, qui donne lieu au brouillage de frontière évoqué tout à l'heure.

La leçon du cas mathé­ma­tique semble donc être qu'on y dégage, au début du vingtième siècle, un concept transcendantal du fini qui ne “tient” qu'au plan méthodologique, et qui, en tant qu'il excède comme thème à exprimer le plan méthodologique régi par lui, libère une sorte de "dialectique” indécise du fini et de l'infini, sujette à des variations surprenantes selon les modèles, voire en dernière analyse selon les univers englobants que l'on projette par voie axiomatique.

Au terme d'un tel parcours, ce que l'on a envie de faire, bien entendu, est de tenter de ressaisir de façon synthétique la pensée de la finitude dans les divers contextes où nous l'avons décrite, pour dégager une figure ou une logique générale du problème philo­so­phique contemporain de la finitude.

Conclusion

Ce qu’il me semble possible de dire à cet égard serait simplement ce qui suit.

Premièrement, il est important de constater que, dans le cas philo­so­phique comme dans le cas mathé­ma­tique, émerge un motif fondationnel de la finitude. La raison pour laquelle j’ai éprouvé le désir de parler de Foucault est précisément celle-là : il explicite complètement l’idée que l’homme s’appréhende lui-même comme fini dans l’horizon de et sur le fondement de sa finitude. De l’idée kantienne selon laquelle notre finitude consiste en ce que la chose à connaître s’annonce à nous de l’extérieur, en telle sorte que tout notre dispositif de connais­sance est comme traumatisé par l’indépendance et la contingence vis-à-vis de notre pensée de cette chose, on passe à l’idée plutôt heideggerienne que la finitude caractérise notre horizon temporel, et la configuration onto­lo­gique profonde au-delà.

Mais une figure fondationnelle de la finitude est également présente à la mathé­ma­tique, nous y avons insisté : la leçon de l’intuitionnisme et du formalisme, conjointement, est qu’une certaine « habitation » originaire du fini préside à notre relation primitive à l’objet minimal en même temps qu’à notre attitude méthodologique la plus incontournable. Comme mathématicien, notre accès à l’objet finitaire, au mieux à l’objet constructif – dans ce qui est déjà son ouverture indéfinie – est à la base de notre relation intentionnelle à l’objet mathé­ma­tique en général, et le consensus formaliste qui s’est établi sur l’idée contemporaine de preuve dans un système formel renvoie en fait au même lieu originaire du finitaire et du constructif.

Philosophie et mathé­ma­tique se distinguent en revanche quant à la manière de conserver, au-delà de cette « inscription » originaire de la finitude, une relation à ou une ouverture sur l’infini.

Il semble, en effet, que dans l'optique heideggerienne, qui serait aussi en l'occurrence celle de Foucault, l'infini subsiste seulement comme nom de l'absent, de cet archi-fondement nécessairement retiré qui échappe à la saisie conceptuelle par le fondement fini que nous sommes. Ma finitude, comme climat de mon ouverture à un monde dans lequel je me retrouve projeté et dans lequel mon ipséité se dément par sa retombée, finitude qui est fondante pour tout le cercle de ma pratique, mon esthétique, ma théorie, pour tout le champ de mon existence, renvoie elle-même à la donne de l'étant depuis la déclosion du sans mesure. Je suis enfermé dans le drame fini de l'existence par la générosité originaire de l'Être qui me donne l'étant et me voue au monde en se retirant. En tant que réfractaire à la segmentation et à la logique de l'étant, l'Être serait encore, certes, une figure de l'infini comme sans mesure (apeiron, dit Heidegger). Mais cet infini prend un visage exclusivement qualitatif d'une part, et pas même qualitatif au bout du compte d'autre part en raison de la clause du retrait, qui interdit au sans mesure de valoir comme un contenu en quelque manière offert : c’est ce qui conduit à dire que chez Heidegger, l’Être lui-même est fini au moins comme don, ainsi que nous l’affirmions plus haut.

Bien entendu, cette figure de théologie négative dévolue à l'infini comme fondement de la finitude qui apparaît “de notre côté” comme fondante contraste fortement avec la figure mathé­ma­tique évoquée à l'instant. L'infini mathé­ma­tique reste quantitatif, bien que nous ne puissions pas le penser comme un infini contrôlé, maîtrisé. Nous pensons l'excès irrésorbable de l'infini comme quantité par la grâce du jeu intentionnel de l'objectivité corrélative, en adressant notre intelligence à des multi­pli­cités invoqués par la stipulation de textes axiomatiques. Et la relation de cet infini à la finitude fondante proprement mathé­ma­tique est qu'elle l'inclut : la dispositif finitaire et grammatical depuis lequel je “monte” l’inten­tion­nalité envers la multi­pli­cité infinie se laisse retrouver, ré-identifier au sein du champ infinitaire que je me suis ouvert (c'est même la condition de possibilité cruciale de ce qui s'appelle théorie des modèles, et qui joue un triple rôle central en mathé­ma­tiques, logique et philosophie analy­tique).

Cet aspect pourrait être analogue à ce que décrit Heidegger à propos de l'Être-au-monde : le Dasein et sa puissance de projection elle-même sont constamment réinterprétés en fonction des étants du monde et de leur structure statique. Seulement chez Heidegger, il s'agit là du malheur du l'inauthenticité, alors que, dans le contexte modèle-théorique évoqué à l'instant, on a affaire à un dispositif qui inspire une pensée infinitaire de la vérité (le dispositif tarskien). Et ce dispositif a plutôt le sens de maintenir notre implication dans l'infini, en investissant en lui notre matrice fondationnelle constructive. Chez Heidegger, tout au contraire, la “chute dans l'inauthentique” survient au fond dans la continuité du retrait de l'être, comme sa confirmation. Bien que nous soyons appelés, mystérieusement, à lutter contre cet oubli et cette déchéance.

Je voudrais, pour finir, aborder plus franchement le registre éthique-pratique, auquel je viens de toucher par cette dernière phrase, tout en reconsidérant le message de Hannah Arendt du point de vue que j'ai dégagé.

Selon ce qui a été vu, en effet, Hannah Arendt évoque trois modes d'ouverture de la vie humaine sur l'infini : la recherche par chacun d'un accomplissement immortalisant, la praxis politique en tant qu'elle embraye sur l'infinité de ses conséquences, et la quête théorique du vrai en tant qu'elle nous voue à un effort interminable.

Il me semble clair que chacun de ces modes renvoie au registre pratique au sens kantien, à la faculté de désirer et à son horizon moral. Lorsque nous cherchons à réussir quelque haut fait qui nous vaille l'immortalité dans la mémoire des hommes, c'est bien de notre désir en tant que fondamentalement voué au cercle intersubjectif, en tant que trouvant la mesure de sa démesure dans l'enchevêtrement inter-humain, symbolique qu'il s'agit. Si l'agir politique enveloppe une forme d'infini, c'est, précisément, l'infini du même cercle, du même enchevêtrement, en regard duquel nos actes, tournés vers les autres humains en vue de les affecter et parce que nous sommes affectés par eux, prennent leur sens. C'est au titre de cette “destinée” politique que notre agir échappe à la réduction finitiste et capte en quelque sorte la richesse de son avenir, notamment interprétatif. Enfin, la recherche théorique du vrai n'est pas infinie en tant que théorique, si l'on s'en tenait à l'enjeu de la contemplation apaisée de l'être en sa vérité, il n'y aurait plus que repos et immobilité : mais ce qui compte est le fait éthique du guidage de la connaissance par les foyers idéaux, exposé par Kant dans l'appendice à la dialectique transcen­dan­tale. Dans la mesure donc où nos démarches théoriques sont dynamisées par des exigences idéales, elles nous engagent dans une aventure en droit infinie.

On sait que, vis-à-vis de l'objet de l'idée, Kant opère une sorte de retournement entre la première et la seconde critique. La liberté, qui a seulement le statut d'objet limite, nécessairement introduit mais impossible à poser, au titre de la première critique, devient un présupposé (et donc un posé) dans le contexte du raisonnement moral. Le champ pratique s'ordonne vis-à-vis des idées de la raison comme à une sorte de fondement, en dépit de leur non-substantialité théorique.

Il me semble que les façons dont Arendt voit notre vie humaine comme compromise avec l'infini, en tant qu'elles se rattachent toutes à l'ordre pratique, répercutent le retournement kantien : comme Kant, Hannah Arendt retrouve la vie humaine comme en proie à l'infini au sens pratique même une fois que la possession théorique de l'infini a été mise de côté.

En un sens, ce qui se passe du côté des mathé­ma­tiques est similaire : ce que le savoir peut prétendre posséder, c'est seulement le vrai fini fondationnel. L'infini comme thème lui échappe, et, curieusement, même le fini, si on tente de le déterminer en liaison avec ce thème, marque une résistance similaire, ne se laisse pas plus assigner que l’infini. Mais cette double indétermination du fini et de l'infini dans leurs figures excédant celle du fini fondationnel n'est pas esquivable, elle fait partie de la tâche ou la mission immémoriale de la mathé­ma­tique, en charge de la question de l'infini, comme j'ai essayé de l'exprimer dans mon ouvrage de 1991 L'herméneutique formelle.

Je conclurai cet article par une suggestion visant à déplacer et déstabiliser le débat fondationnel qui a été celui du vingtième siècle sur la finitude. La descrip­tion de l'homme sous les auspices de la finitude me semble en effet partielle et partiale. Elle se place constamment du point de vue de la part d'être ou du rôle dans l'être qui sont ceux de l'homme. Mais le trait le plus humanisant de l'homme est sans doute, ainsi qu'Emmanuel Levinas a commencé de nous l'enseigner, son “inspiration” vers l'autrement qu'être. L'homme n'est pas le plus optimalement décrit comme ce qu'il est, mais comme constamment concerné par une redéfinition déontologique de soi, qui excède par principe l'être en se référant à un devoir-être impossible à attester et fonder dans l'être. L'homme est toujours comme reconfiguré par les appels qu'il lit dans les textes qui lui sont transmis. Si l'on essaye de développer une vision de l'homme attentive à la dimension de hors-être de l'existence, ce qui prédomine est plutôt l'indexation permanente sur l'infini : l'homme est rigoureusement incapable de prendre son aventure pour le fini que lui assigne la connaissance, il est même incapable de ne pas vouer la procédure de connaissance elle-même à l'infini qui le hante. Toutes les prestations de l'homme témoignent de la fidélité à un infini qui lui échappe au plan onto­lo­gique, sous toutes les figures déontologiques où il le rencontre. Sans doute la figure mathé­ma­tique et la figure politique en sont-elles deux de première importance : c'est pourquoi il me semble que la mathé­ma­tique et Hannah Arendt nous apprennent à dépasser une naïveté au fond positiviste qui est celle de Foucault et de Heidegger, malgré qu'ils en aient.